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Resumo: O conceito de conjunto compacto é essencial em diversas áreas da matemática, como Análise e Topologia. Ele surge para generalizar a ideia de conjuntos fechados e limitados. Além disso, são uma ferramenta importante para estender a noção de finitude, como por exemplo, temos que toda função contínua num compacto atinge máximo e mínimo. No seminário veremos algumas de suas definições, como a definição de compacto por coberturas (que é a que vale nos contextos mais gerais) e a definição de sequencialmente compacto. Começaremos no contexto de espaços de dimensão finita (R^n) e vamos desenvolver uma intuição sobre o que são os conjuntos compactos. Depois, iremos pensar nos espaços de dimensão infinita e investigar o que acontece com os compactos neste contexto.
Resumo: Muitos de nós, em algum momento, já ouvimos falar sobre vetores. Não é à toa, eles aparecem numa gama enorme de lugares: como setas que representam forças, como ferramentas pra resolver diversos problemas geométricos, entre outros. Mas já pararam pra pensar de onde esta ideia, o conceito de um vetor, surgiu? Neste seminário exploraremos um pouco da história do surgimento do vetor. No meio do caminho, encontraremos um velho conhecido, os complexos, que codificam transformações geométricas em sua álgebra. Também esbarraremos em um conjunto peculiar: os quaterniões, a extensão da ideia geométrica dos complexos para 3 dimensões, que mostram um jeito diferente de fazer algebra. Disto, finalmente chegaremos nos vetores, e veremos como, enxergando os quaterniões através da lente vetorial, conseguimos duas operações muito úteis, o produto escalar e o produto vetorial. Por último, daremos uma leve pincelada de como o conceito de vetor é generalizado para lugares que não se parecem nada como objetos espaciais, dando para eles algum tipo de geometria através de sua álgebra.
Resumo: Desde sua criação, a exponenciação de matrizes tem sido uma ferramenta poderosa e intrigante em diversas áreas da matemática. Introduzida pelo matemático von Neumann na década de 30, ela vem sido estudada extensivamente, especialmente com a teoria voltada à construção de solubilidade de equações diferenciais e métodos numéricos para computar e^A. Mas nossa jornada começa com uma pergunta simples: como podemos definir a exponencial de uma matriz? Existem propriedades especiais que as matrizes devem possuir para que a exponenciação seja viável? Ao explorar essa questão, vamos descobrir não apenas como calcular essa operação, mas também como ela se relaciona com conceitos familiares, como sistemas de equações lineares e autovalores de matriz. Ao longo do seminário, vamos mergulhar em exemplos práticos que ilustram a aplicação da exponenciação de matrizes no mundo das equações diferenciais.
Resumo: Em 1878, Georg Cantor, após formular os primeiros fundamentos daquilo que eventualmente seria conhecido como teoria dos conjuntos, propôs um dos problemas mais significativos da história da matemática: a Hipótese do Contínuo (HC). Cantor postulava que o tamanho do conjunto dos números reais é o menor possível que ainda é maior que o tamanho do conjunto dos números naturais. Com o avanço subsequente das técnicas lógicas e, em particular, da teoria dos conjuntos, muitos matemáticos começaram a suspeitar que talvez não houvesse uma resposta definitiva para o problema de Cantor dentro do arcabouço teórico tradicional. Na década de 1940, o matemático austríaco Kurt Gödel deu o primeiro passo para demonstrar tal fato, garantindo que, se a teoria matemática convencional não levasse a paradoxos, seria consistente supor que a Hipótese do Contínuo fosse verdadeira. Em outras palavras, a inclusão de HC na teoria convencional não geraria contradições. Vamos brevemente discutir a técnica empregada por Gödel, que consistia em restringir ao máximo a quantidade de números reais possíveis, estabelecendo uma condição rigorosa que exigia que todos os conjuntos fossem "definíveis", ou seja, pudessem ser descritos por meio de uma propriedade específica.
Resumo: Imagine que uma partícula inicialmente localizada na origem da reta real realiza saltos a cada minuto da seguinte maneira. Com probabilidade 1/2 a partícula salta para o inteiro à sua esquerda e, com a mesma probabilidade, para o inteiro à sua direita. O processo estocástico que descreve a trajetória de tal partícula é dito passeio aleatório simples e simétrico em Z. Neste seminário, exploraremos alguns métodos para simular o passeio aleatório finito de tamanho T utilizando um baralho com N cartas. Uma maneira simples de se fazer isso é a seguinte. Após embaralhar as N cartas, puxamos as T primeiras uma a uma e observamos suas cores. Se a carta retirada for vermelha, movemos a partícula à esquerda; se for preta, movemos à direita. Este procedimento é chamado simulação tradicional e o nosso objetivo é investigar se, em algum sentido, ele cumpre satisfatoriamente a tarefa de simular o passeio.
Resumo: Dentro da matemática como um todo, é comum buscarmos resultados de classificação de qualquer objeto que estejamos interessados. Isso foi feito, pela primeira vez, por Platão, quando classificou todos os poliedros regulares, obtendo os 5 sólidos de Platão, e também é feito quando mostrarmos que todo espaço vetorial sobre R é isomorfo a algum R^n. Acontece que, além desses resultados, também conseguimos teoremas parecidos para a Teoria de Anéis. Neste seminário, vamos tratar do (quase) primeiro resultado a respeito da chamada Teoria Estrutural de Anéis: o Teorema de Wedderburn, que classifica as álgebras associativas de dimensão finita por meio de álgebras de matrizes. Esse teorema, demonstrado em 1907, foi o início de toda uma bela teoria que busca a classificação de anéis com diferentes propriedades.
Resumo: A não existência de uma "fórmula de Bhaskara" para polinômios de grau 5 ou maior é um fato que esteve intimamente ligado com o desenvolvimento da álgebra. Sua demonstração, originalmente feita por Abel e Ruffini (que levam o nome do teorema) e posteriormente por Galois, marcou avanços significativos na teoria dos polinômios e no desenvolvimento da teoria dos grupos, teoria dos corpos e teoria de Galois. Como é de se esperar, a demonstração desse teorema não é imediata, precisando do desenvolvimento de ferramentas algébricas mais refinadas. No entanto, no seminário iremos ver uma demonstração (conhecida como a Arnold's Elementary Proof, a "Prova Elementar de Arnold") que se propõe a ser mais acessível e não usar nenhum conceito algébrico complicado. Demonstraremos o teorema utilizando apenas fatos básicos sobre combinatória e sobre os números complexos, que serão revistos durante o seminário!
Resumo: Inicialmente desenvolvido por Paul Erdős para a resolução de problemas em combinatória, o método probabilístico permite a demonstração da existência de configurações em grafos sem a necessidade de construções explícitas usando somente propriedades básicas de contagem e a notação usual de probabilidade. No seminário serão discutidas alguns dos exemplos mais clássicos envolvendo tais técnicas de contagem, i.e. cotas inferiores para números de Ramsey, assim como uma gentil introdução ao grafo aleatório G(n,p).
Resumo: No presente seminário discutiremos como belos resultados que vemos nos cursos introdutórios de Álgebra Linear podem ser obtidos de um jeito diferente, utilizando Análise Complexa. Descreveremos como os autovalores de matrizes podem ser estudados e dada uma matriz como obter a famosa Forma de Jordan a ela associada. Após, procuraremos irritar os operadores, ou melhor, perturba-los um pouco. Consideraremos não uma matriz, mas uma família delas e estudaremos como os autovalores se comportam como um todo. Montaremos funções que descrevem os autovalores, mostraremos como eles formam ciclos entre si e as projeções a eles associadas mantém multiplicidade, i.e., preservam dimensão.
Resumo:Os bilhares (ou sinucas) podem ser estudados como exemplo de sistemas dinâmicos simples de descrever, mas com comportamento bem complicados. Eles aparecem em diversas áreas da física, como a mecânica estatística, a ótica, a acústica e a mecânica clássica. Este seminário pretende ser bem intuitivo e, através de figuras e vídeos, explorar a teoria de bilhares, apresentar diversos problemas e as relações com outras áreas da dinâmica.
Fim